Question

（2011•大連二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，PA切⊙O于點A，D為線段PA的中點，過點D引割線交⊙O于B，C兩點．
求證：∠DPB=∠DCP．

Answer 1

分析：先根據PA與圓相切于A，得到DA²=DB•DC；再結合DP=DA，得到DP²=DB•DC；最后根據∠BDP=∠PDC，可得△BDP∽△PDC進而得到結論．

解答：證明：因為PA與圓相切于A，所以DA²=DB•DC，（3分）
因為D為PA中點，所以DP=DA，
所以DP²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．（6分）
因為∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，（9分）
所以∠DPB=∠DCP．（10分）

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及切線性質的應用．屬于基礎題．其中判斷出△BDP∽△PDC是解答本題的關鍵．