Question

12、已知函數y=f（x）滿足f（x+1）=-f（x）（x∈R），且f（x）在[0，1]上是減函數，有以下四個函數：①y=sinπx②y=cosπx③y=1-（x-2k）²，2k-1＜x≤2k+1，k∈Z④y=1+（x-2k）²，2k-1＜x≤2k+1，k∈Z其中滿足f （x）所有條件的函數序號為（　　）

A、①②

B、②③

C、②④

D、①④

Answer 1

分析：先利用f（x+1）=-f（x）求得函數的周期為2；再分別看四個函數，周期為2都成立，只有利用在[0，1]上的單調性來求答案，對于①④可得其在在[0，1]上是增函數即可得結論．

解答：解：由f（x+1）=-f（x）?f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．即函數的周期為2．
對于①，因為y=sinπx在Y軸右邊是先增后減，故不成立；
對于②，符合要求；
對于③，首先可得其周期為2，且當k=0時，y=1-x²在[0，1]上是減函數，符合要求；
對于④，當k=0時，y=1+x²在[0，1]上是增函數，不符合要求．
故符合要求的有  ②③．
故選 B．

點評：本題是對函數單調性和奇偶性的綜合考查．一般出選擇或填空題時，是兩條性質綜合運用來解題，屬于基礎題．