Question

【題目】已知圓經過點，，且圓心在直線上.

（1)求圓的方程；

（2）過點的直線截圓所得弦長為，求直線的方程.

（3）若直線與圓相切，且與，軸的正半軸分別相交于，兩點，求的面積最小時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1)由題意，可得的垂直平分線方程為，聯立方程組求得圓心，進而求得圓的方程；

（2）當直線的斜率存在時，設斜率為，得到直線方程，利用圓心到直線的距離和圓的垂徑定理，求得，得出直線的方程；當直線的斜率不存在時，驗證直線的方程為，滿足題意，即可得到結論；

（3）設直線l的方程為，根據與圓相切，利用三角形的面積，結合基本不等式，求得的值，即可得到答案.

（1)由題意，可得的中點坐標為，，直線的斜率為，

可得的垂直平分線方程為，

聯立方程組，解答，即圓心坐標為，

所以半徑為 ，所以圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設斜率為，

因為直線過點，所以直線的方程為，即，

則圓心到直線的距離，

由垂徑定理，，解得，

則直線的方程為，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，滿足題意，

所以直線的方程為或.

（3）設直線l的方程為：，

因為與軸的正半軸分別相交于兩點，

所以，且，

又與圓相切，則點到直線的距離等于圓的半徑2，

即，①，

又由 ②

將①代入②得，

當且僅當時取等號，所以當時，的面積最小，

此時，

所以直線的方程為：.