Question

【題目】設函數

（1）若函數在上遞增，在上遞減，求實數的值.

（2））討論在上的單調性；

（3）若方程有兩個不等實數根，求實數的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3），見解析

【解析】

（1）根據單調區間判斷出是極值點，由此根據極值點對應的導數值為求解出的值，并注意驗證是否滿足；

（2）先求解出，然后結合所給區間對進行分類討論，分別求解出的單調性；

（3）構造函數，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉化為證明，由此構造新函數進行分析證明.

（1）由于函數函數在上遞增，在上遞減，

由單調性知是函數的極大值點，無極小值點，所以，

∵，

故，此時滿足是極大值點，

所以；

（2）∵，

∴，

①當時，在上單調遞增.

②當，即或時，，

∴在上單調遞減.

③當且時，

由 得.

令得；令得.

∴在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上，當時，在上遞增；

當或時，在上遞減；

當且時，在上遞增，在上遞減.

（3）令，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

故在處取得最小值為

又當，由圖象知：

不妨設，則有，

令

在上單調遞增，故

即，