Question

正實數x₁，x₂及函數f（x）滿足4x=

1+f(x)

1-f(x)

，且f（x₁）+f（x₂）=1，則f（x₁+x₂）的最小值為（　　）

• A、4
• B、2
• C、

  4

  5

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：由已知須先求出f（x）的解析式f(x) =

4x-1

4x+1

，然后代入x₁，x₂及f（x₁）+f（x₂）=1可得含有入x₁，x₂的式子
4x1+x2-3=4x1+4x2，再利用均值不等式求出4x1+x2的范圍，即可解答f（x₁+x₂）的最小值來．

解答：解：由已知4x=

1+f(x)

1-f(x)

得f(x) =

4x-1

4x+1

，由f（x₁）+f（x₂）=

4x1-1

4x1+1

+

4x2-1

4x2+1

=1
于是可得：

2(4x1 +x2-1)

4x1+x2+4x14x2+1

=1，
所以得：4x1+x2-3=4x1+4x2≥2

4x1+x2

，①
設

4x1+x2

=t，則①式可得：t²-2t-3≥0，又因為t＞0，
于是有：t≥3或t≤-1（舍），從而得

4x1+x2

≥3，即：4x1+x2≥9，
所以得：f（x₁+x₂）=

4x1 +x2-1

4x1+x2+1

=

4x1 +x2+1-2

4x1+x2+1

=1- 

2

4x1+x2+1

≥1-

2

9+1

=

4

5

．
所以有：f（x₁+x₂）的最小值為

4

5

．
故應選：C

點評：本題考查函數最值的求法，指數函數的性質，函數解析式的運算，指數的運算，均值不等式的應用，考查的思想方法較綜合，考查學生的運算能力要求較強．