Question

已知拋物線：，焦點為，其準線與軸交于點；橢圓：分別以為左、右焦點，其離心率；且拋物線和橢圓的一個交點記為．
（1）當時，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，若直線經過橢圓的右焦點，且與拋物線相交于兩點，若弦長等于的周長，求直線的方程．

Answer 1

(1)當時,F(1,0),F(-1,0) 設橢圓的標準方程為(＞＞0),
∴=1,=  ∵,∴=2,= 
故橢圓的標準方程為="1.------" ---4分
(2) (ⅰ)若直線的斜率不存在，則：=1，且A（1，2），B（1，-2），∴=4
又∵的周長等于=2+2=6
∴直線的斜率必存在.-----6分
ⅱ）設直線的斜率為，則：由，得
∵直線與拋物線有兩個交點A，B
∴，且
設
則可得，                 …………………8分
于是==
=
= 
=                                      …………10分
∵的周長等于=2+2=6
∴由=6，解得=
故所求直線的方程為.

略