Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和是，點(diǎn)的軌跡與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和．
⑴求軌跡的方程；
⑵當(dāng)時(shí)，證明直線過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

⑴∵點(diǎn)到，的距離之和是，∴的軌跡是長(zhǎng)軸為，焦點(diǎn)在軸上焦距為的橢圓，其方程為．

⑵將，代入曲線的方程，整理得 ，因?yàn)橹本�與曲線交于不同的兩點(diǎn)和，所以  ①
設(shè)，，則，  ②
且③
顯然，曲線與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，所以，．由，得．
將②，③代入上式，整理得．所以，即或．經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①，
當(dāng)時(shí)，直線的方程為．顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)．即直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與題意不符．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為．顯然，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn)．
綜上，與的關(guān)系是：，且直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)．

略