Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， 且Sn=2n﹣1．數列{bn}滿足b1=2，bn+1﹣2bn=8an ．
（1）求數列{an}的通項公式．
（2）證明：數列{ }為等差數列，并求{bn}的通項公式．
（3）求{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=2﹣1=1；

當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1；

上式對n=1也成立．

則數列{an}的通項公式為an=2n﹣1；

（2）證明：bn+1﹣2bn=8an=82n﹣1=2n+2，

兩邊同除以2n+1，可得

﹣ =2，

可得數列{ }是首項為 =1，公差為2的等差數列；

即有 =1+2（n﹣1）=2n﹣1，

則{bn}的通項公式為bn=（2n﹣1）2n；

（3）解：{bn}的前n項和Tn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，

可得2Tn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，

兩式相減可得，﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1，

化簡可得Tn=6+（2n﹣3）2n+1．

【解析】（1）運用當n=1時，a1=S1；當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 計算即可得到所求通項公式；（2）對bn+1﹣2bn=2n+2 ， 兩邊同除以2n+1 ， 由等差數列的定義和通項公式，即可得到所求；（3）運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．
【考點精析】利用數列的前n項和和數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．