Question

已知雙曲線關于兩坐標軸對稱,且與圓x²+y²=10相交于點P(3,-1),若此圓過點P的切線與雙曲線的漸近線平行,求此雙曲線的方程.

Answer 1

解法一:切點為P(3,-1)的圓的切線方程為3x-y=10,

∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行,且雙曲線關于兩坐標軸對稱,

∴兩條漸近線方程為3x±y=0.

設所求的雙曲線方程為9x²-y²=λ(λ≠0).

∵點P(3,-1)在所求的雙曲線上,∴λ=80.

∴所求雙曲線的方程為

解法二:

切點為P(3,-1)的圓的切線方程為3x-y=10,

∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行,且雙曲線關于兩坐標軸對稱,

∴雙曲線的漸近線方程為3x±y=0.

當雙曲線的焦點在x軸上時,設雙曲線方程為(a＞0,b＞0),則其漸近線方程為y=±x,即=3,則雙曲線方程可化為.

∵雙曲線過點P(3,-1),

∴

∴所求雙曲線的方程為

當焦點在y軸上時,設雙曲線方程為(a＞0,b＞0),則其漸近線方程為y=±x,即=3,則雙曲線方程可化為

∵雙曲線過點P(3,-1),∴

得-,此時方程無解.

∴所求的雙曲線方程為