Question

（1）已知雙曲線關于兩坐標軸對稱，且與圓x²+y²=10相交于點P（3，-1），若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程；
（2）已知雙曲線的離心率e=，且與橢圓+=1有共同的焦點，求該雙曲線的方程．

Answer 1

解：（1）切點為P（3，-1）的圓x²+y²=10的切線方程是3x-y=10．
∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關于兩坐標軸對稱，
∴兩漸近線方程為3x±y=0．
設所求雙曲線方程為9x²-y²=λ（λ≠0）．
∵點P（3，-1）在雙曲線上，代入上式可得λ=80，
∴所求的雙曲線方程為-=1．
（2）在橢圓中，焦點坐標為（±，0），
∴c=，又e===，∴a²=8，b²=2．
∴雙曲線方程為-=1．
分析：（1）先求出圓過點P的切線方程，進而求出雙曲線的兩條漸近線方程，再利用已知漸近線方程設出雙曲線的方程，最后把點P的坐標代入即可求此雙曲線的方程；
（2）先求出橢圓中焦點坐標，求出雙曲線中的c，再利用雙曲線的離心率e=，求出a²和b²．就可求雙曲線的方程．
點評：本題考查雙曲線標準方程的求法．若雙曲線的兩條漸近線方程是y=x，則雙曲線的方程可表示為-=λ（λ≠0）．