Question

（理）已知函數f(x)=x-

1

2

ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．令f'（2）=0，能求出a的值．
（Ⅱ）當a=0時，f′(x)=

x

x+1

．故f（x）的單調增區間是（0，+∞）；單調減區間是（-1，0）．當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．當0＜a＜1時，列表討論f（x）與f'（x）的情況能求出f（x）的單調區間．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，由f（0）=0，知不合題意．當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合題意．當a≥1時，f（x）在（0，+∞）單調遞減，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時，a的取值范圍是[1，+∞）．

解答：（理）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．
依題意，令f'（2）=0，解得 a=

1

3

．
經檢驗，a=

1

3

時，符合題意．…（4分）
（Ⅱ）解：①當a=0時，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的單調增區間是（0，+∞）；單調減區間是（-1，0）．
②當a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．
當0＜a＜1時，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調增區間是(0，

1

a

-1)；單調減區間是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)．
當a=1時，f（x）的單調減區間是（-1，+∞）．
當a＞1時，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調增區間是(

1

a

-1，0)；單調減區間是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
③當a＜0時，f（x）的單調增區間是（0，+∞）；單調減區間是（-1，0）．
綜上，當a≤0時，f（x）的增區間是（0，+∞），減區間是（-1，0）；
當0＜a＜1時，f（x）的增區間是(0，

1

a

-1)，減區間是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)；
當a=1時，f（x）的減區間是（-1，+∞）；
當a＞1時，f（x）的增區間是(

1

a

-1，0)；減區間是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，由f（0）=0，知不合題意．
當0＜a＜1時，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，
由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合題意．
當a≥1時，f（x）在（0，+∞）單調遞減，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時，a的取值范圍是[1，+∞）．…（12分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．