Question

（理）已知函數f(x)=

ln(2-x2)

|x+2|-2

．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區間（0，1）單調遞減；
（3）如圖給出的是與函數f（x）相關的一個程序框圖，試構造一個公差不為零的等差數列
{a_n}，使得該程序能正常運行且輸出的結果恰好為0．請說明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內接四邊形ABCD的對角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對角線AC的長為2，且

AB

•

AD

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）設四邊形ABCD的一條邊CD的中點為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點O、G、H是否共線，并說明理由．

Answer 1

分析：理科（1）先求出函數的定義域，得到定義域關于原點對稱，在檢驗-x與x的函數值之間的關系，得到奇函數．
（2）根據單調性的定義，設出已知大小關系的任意兩個變量，利用定義證明函數的單調性，得到函數是一個增函數．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數列{a_n}要滿足條件，則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要構造滿足條件的等差數列{a_n}，可利用等差數列的性質，只需等差數列{a_n}滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．
文科（1）發現A、C兩點分別在x軸正負半軸上．設兩點坐標分別為A（a，0），C（c，0），則有ac＜0．對于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，當y=0時，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，于是有x_Ax_C=ac=F，得到故F＜0．
（2）寫出對角線互相垂直的四邊形ABCD面積，根據兩個向量的數量積等于0，整理出角是一個直角，根據圓的方程寫出結果．
（3）設出和寫出要用的點的坐標，當y=0時可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，于是有x_Ax_C=ac=F．同理，當x=0時，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標，于是有y_By_D=bd=F．得到結果．

解答：解：（1）由

2-x2＞0 |x+2|-2≠0

得x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
則f(x)=

ln(2-x2)

x

，任取x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
都有f（-x）=-

ln(2-x2)

x

=-f（x），則該函數為奇函數．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
則有0＜x₁²＜x₂²＜1?2-x₁²＞2-x₂²＞1，?ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又

1

x1

＞

1

x2

＞1，
所以

ln(2- x 2 1 )

x1

＞

ln(2- x 2 2 )

x2

，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數f（x）在區間（0，1）上單調遞減．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數列{a_n}要滿足條件，
則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函數f（x）是奇函數，而奇函數的圖象關于原點對稱，
所以要構造滿足條件的等差數列{a_n}，可利用等差數列的性質，只需等差數列{a_n}
滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且an∈(-

2

，0)∪(0，

2

)即可．
我們可以先確定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因為公差不為零的等差數列{a_n}必是單調的數列，只要它的最大項和最小項在(-

2

，0)∪(0，

2

)中，即可滿足要求．
所以只要a₅，a₆
對應的點盡可能的接近原點．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在滿足條件的一個等差數列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．
（文科）（1）由題意，不難發現A、C兩點分別在x軸正負半軸上．設兩點坐標分別為A（a，0），C（c，0），
則有ac＜0．
對于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當y=0時，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，于是有x_Ax_C=ac=F．
因為ac＜0，故F＜0．
（2）對角線互相垂直的四邊形ABCD面積S=

|AC|•|BD|

2

，
因為S=8，|AC|=2，可得|BD|=8．
又因為

AB

•

AD

=0，
所以∠A為直角，而因為四邊形是圓M的內接四邊形，
故|BD|=2r=8?r=4．
對于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0所表示的圓，
可知

D2

4

+

E2

4

-F=r2，
所以D²+E²-4F=4r²=64．
（3）證：設四邊形四個頂點的坐標分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
則可得點G的坐標為(

c

2

，

d

2

)，即

OG

=(

c

2

，

d

2

)．
又

AB

=(-a，b)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三點共線，只需證

AB

•

OG

=0即可．
而

AB

•

OG

=

bd-ac

2

，且對于圓M的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當y=0時可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點A和點C的橫坐標，
于是有x_Ax_C=ac=F．
同理，當x=0時，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點B和點D的縱坐標，
于是有y_By_D=bd=F．
所以，

AB

•

OG

=

bd-ac

2

=0，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三點共線．

點評：本題是一個文理合卷的題目，有兩個題目分別考查函數的性質和直線與圓的方程，本題解題的關鍵是看清題目的實質，抓住解題的主要方法．