Question

（2011•普陀區三模）（理）已知函數f(x)=

sinπx x∈[0，1] log2011x x∈(1，+∞)

若滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），則a+b+c的取值范圍是

（2，2012）

．

Answer 1

分析：不妨設a＜b＜c，根據題意在坐標系里作出函數的圖象，將直線y=y₀進行平行移動，可得左邊兩個交點關于直線x=

1

2

對稱，故a+b=1，再觀察對數函數圖象得c滿足1＜c＜2011，才能使兩個圖象有三個公共點，最后綜合以上兩點，可得出a+b+c的取值范圍．

解答：解：根據題意，不妨設a＜b＜c，可得
作出函數的圖象，直線y=y₀交函數圖象于如圖，由正弦曲線的對稱性，
可得A（a，y₀）與B（b，y₀）關于直線x=

1

2

對稱，因此a+b=1

當直線線y=y₀向上平移時，經過點（2011，1）時圖象兩個圖象恰有兩個公共點（A、B重合）
所以0＜y₀＜1時，兩個圖象有三個公共點，此時滿足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
說明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）
故答案為（2，2012）

點評：本題以三角函數和對數函數為例，考查了函數的零點與方程根個數討論等知識點，屬于中檔題．利用數形結合，觀察圖象的變化，從而得出變量的取值范圍是解決本題的關鍵．