Question

關于函數f(x)=lg

x

x2+1

，有下列結論：①定義域是（0，+∞）；②是奇函數；③最大值為-lg2；④0＜x＜1時單增，x＞1時單減．其中正確結論的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：①根據對數函數的真數大于0，建立關系式解之驗證定義域即可；②函數f（x）是奇函數，利用奇函數的定義進行判斷；③函數f（x）的最大值為-lg2，利用基本不等式與對數的運算性質求出最值；④求出導數，解出單調區間，驗證即可．

解答：解：①函數f（x）的定義域是（0，+∞），令

x

x2+1

＞0，解得x＞0，故定義域是（0，+∞），命題正確；
②函數f（x）是奇函數，由①知，定義域不關于原點對稱，故不是奇函數，命題不正確；
③函數f（x）的最大值為-lg2，因為f(x)=lg

x

x2+1

=lg

1

x+ 1 x

≤lg

1

2

=-lg2，最大值是-lg2，故命題正確；
④當0＜x＜1時，函數f（x）是增函數；當x＞1時，函數f（x）是減函數，命題正確，因為f′(x)=lg

1-x2

(x2+1)2

，令導數大于0，可解得0＜x＜1，令導數大于0，得x＞1，故命題正確．
綜上，①③④正確
故答案為：①③④

點評：本題主要考查了函數定義域、最值、單調性和奇偶性，同時考查了推理論證的能力以及計算論證的能力，屬于中檔題．