Question

研究問題：“已知關于x的不等式ax²-bx+c＞0，解集為（1，2），解關于x的不等式cx²-bx+a＞0”有如下解法：
解：由cx²-bx+a＞0且x≠0，所以

(c×2-bx+a)

x2

＞0得a（

1

x

）²-

b

x

+c＞0，設

1

x

=y，得ay²-by+c＞0，由已知得：1＜y＜2，即1＜

1

x

＜2，∴

1

2

＜x＜1所以不等式cx²-bx+a＞0的解集是（

1

2

，1）．
參考上述解法，解決如下問題：已知關于x的不等式

b

(x+a)

+

(x+c)

(x+d)

＜0的解集是：（-3，-1）∪（2，4），則不等式

bx

(ax-1)

+

(cx-1)

(dx-1)

＜0的解集是

(-

1

2

，-

1

4

)∪(

1

3

，1)

．

Answer 1

分析：由給出的不等式可知x≠0，分子分母同時除以x后換元，即y=-

1

x

，則由已知不等式的解集得到了y的范圍，進一步求解分式不等式得到x的范圍．

解答：解：由

bx

(ax-1)

+

(cx-1)

(dx-1)

＜0且x≠0，得

b

a- 1 x

+

c- 1 x

d- 1 x

＜0，
令y=-

1

x

，則

b

y+a

+

y+c

y+d

＜0，
∴y∈（-3，-1）∪（2，4），即-

1

x

∈（-3，-1）∪（2，4），
由-3＜-

1

x

＜-1，解得

1

3

＜x＜1；
由2＜-

1

x

＜4，解得-

1

2

＜x＜-

1

4

．
∴不等式

bx

(ax-1)

+

(cx-1)

(dx-1)

＜0的解集是(-

1

2

，-

1

4

)∪(

1

3

，1)．
故答案為：(-

1

2

，-

1

4

)∪(

1

3

，1)．

點評：本題考查了類比推理，考查了分式不等式的解法，解答的關鍵是明確不等式

bx

(ax-1)

+

(cx-1)

(dx-1)

＜0的分子分母同時除以x后原不等式不等號不變，是基礎題．