Question

研究問題：“已知關于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集為（1，2），解關于x的不等式cx²-bx+a＞0”，有如下解法：
解：由ax²-bx+c＞0?a-b(

1

x

)+c(

1

x

)2＞0，令y=

1

x

，則y∈(

1

2

， 1)，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集為(

1

2

， 1)．
參考上述解法，已知關于x的不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0的解集為（-2，-1）∪（2，3），求關于x的不等式

kx

ax-1

+

bx-1

cx-1

＜0的解集．

Answer 1

分析：由不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0的解集為（-2，-1）∪（2，3），根據不等式解集的端點即為對應方程的根，我們可得方程

k

x+a

+

x+b

x+c

=0的根，進而得到不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0對應方程的根，即不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0解集的端點．

解答：解：由于不等式

k

x+a

+

x+b

x+c

＜0的解集為（-2，-1）∪（2，3），
則方程

k

x+a

+

x+b

x+c

=0的根分別為-2，-1，2，3．（3分）
由

kx

ax-1

+

bx-1

cx-1

＜0，
得

k

a- 1 x

+

b- 1 x

c- 1 x

＜0，（6分）
因此，方程

k

a- 1 x

+

b- 1 x

c- 1 x

=0的根為：

1

2

，1，-

1

2

，-

1

3

（10分）
∴不等式

kx

ax-1

+

bx-1

cx-1

＜0的解集：(-

1

2

，-

1

3

)∪(

1

2

，1)．（12分）

點評：本題考查的知識點分式不等式的解法，其中利用不等式的解集端點與對應方程根的關系，將方程問題和不等式問題進行轉化是解答本題的關鍵．