Question

已知函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f（x）=1+2^x，
（1）求其在R上的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數的單調區間．

Answer 1

分析：（1）要求函數的解析式，已知已有x＞0時的函數解析式，只要根據題意求出x＜0及x=0時的即可，根據奇函數的性質容易得f（0）=0，而x＜0時，由-x＞0及f（-x）=-f（x）可求；
（2）由（1）所得的函數解析式，根據分段函數圖象的畫法，畫出對應圖象，并根據圖象寫出函數的單調區間即可．

解答：解：（1）設x＞0則-x＜0
∵當x＜0時，f（x）=1+2^x，
∴f（-x）=1+2^-x，
由函數f（x）為奇函數可得f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=1+2^-x
即f（x）=-（1+2^-x），x＞0
∵f（0）=0
∴f（x）=

-(1+2-x)，x＞0 0，x=0 1+2x，x＜0

（2）因為函數f（x）=

-(1+2-x)，x＞0 0，x=0 1+2x，x＜0

，圖象如圖：
故單調增區間為（-∞，0）和（0，+∞）．注：沒畫漸近線的沒分

點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性求解函數的解析式，以及分段函數的圖象和數形結合思想的應用．是對函數圖象的綜合考查，屬于基礎題目．解題中要注意函數的定義域是R，不用漏掉對x=0時的考慮．