Question

函數f（x）=x²-2ax-3在區間[1，2]上存在反函數的充分必要條件是a∈

（-∞，1]∪[2，+∞）

．

Answer 1

分析：根據反函數的定義可知，要存在反函數，則原函數在此區間上是單調的，由此根據二次函數的對稱抽和閉區間的相對關系即可作出判斷．

解答：解：由題意，函數在區間[1，2]是單調函數．
∵f（x）=x²-2ax-3的對稱軸為x=a，
∴y=f（x）在[1，2]上存在反函數的充要條件為[1，2]⊆（-∞，a]或[1，2]⊆[a，+∞），
即a≥2或a≤1．
故答案為（-∞，1]∪[2，+∞）

點評：本題的考點是充要條件，主要考查考查反函數的概念、充要條件的概念、二次函數的單調性等有關知識．本題雖然小巧，用到的知識確實豐富的，具有綜合性特點，涉及了反函數、充要條件、二次函數等三個方面的知識，是這些內容的有機融合，是一個極具考查力的小題；解題中易錯點有反函數存在的條件不清晰、充要條件的判定不準確、二次函數的對稱軸與其單調性的關聯的確定．