Question

已知函數f（x）=x²-ax+4+2lnx
（I）當a=5時，求f（x）的單調遞減函數；
（Ⅱ）設直線l是曲線y=f（x）的切線，若l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
（Ⅲ）若f（x）分別在x₁、x₂（x₁≠x₂）處取得極值，求證：f（x₁）+f（x₂）＜2．

Answer 1

分析：（I）當a=5時，利用導數求f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）利用導數的幾何意義，由切線l的斜率存在最小值-2，求a的值，并求取得最小斜率時切線l的方程；
（Ⅲ）利用導數求出函數的極值，利用極值證明不等式．

解答：解：（I）因為函數的定義域為{x|x＞0}，
當a=5時，f（x）=x²-5x+4+2lnx，f′(x)=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

2(x- 1 2 )(x-2)

x

，
所以由f'（x）＜0，解得

1

2

＜x＜2，
即函數的單調遞減區間為（

1

2

，2）．
（Ⅱ）因為x＞0，所以f′(x)=2x+

2

x

-a≥2

4

-a=4-a，
當且僅當x=1時取等號．因為直線l的斜率存在最小值-2，
所以4-a=-2，即a=6．
當l取得最小斜率時，因為f（-1）=-1，即切點為（1，-1）．
從而切線方程l：y+1=-2（x-1），即：2x+y-1=0．
（Ⅲ）f′(x)=2x+

2

x

-a=

2x2-ax+2

x

，
因為f（x）分別在x₁、x₂（x₁≠x₂）處取得極值，
所以x₁、x₂（x₁≠x₂）是方程

2x2-ax+2

x

=0，
即2x²-ax+2=0的兩個不等正根．
則△=a²-16＞0解得a²＞16，且x1+x2=

a

2

，x1x2=1．
從而f（x₁）+f（x₂）=

x

2 1

+

x

2 2

-a(x1+x2)+8+2ln?(x1x2)
=(x1+x2)2-2x1x2-a(x1+x2)+8+2ln?(x1x2)
=(

a

2

)2-2×1-a×

a

2

+8+2ln1=-

a2

4

+6，
因為a²＞16，所以-

a2

4

+6＜2．
即不等式f（x₁）+f（x₂）＜2成立．

點評：本題主要考查導數與函數的極值之間的關系，運算量較大．