Question

已知二次函數f（x）=x²-2x-3的圖象為曲線C，點P（0，-3）．
（1）求過點P且與曲線C相切的直線的斜率；
（2）求函數g（x）=f（x²）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）由題意求出導數，判斷出點P與函數圖象的關系，再把x=0代入求出f′（0），即所求切線的斜率；
（2）把x=x²代入解析式求出g（x），再求出g′（x）和臨界點，再列出表格判斷出函數的單調性，再求出函數的遞增區間．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2x-3，∴f′（x）=2x-2．
∵點P坐標是（0，-3），∴點P在曲線C上，則f′（0）=-2．
∴過點P且與曲線C相切的直線的斜率是-2．
（2）∵g（x）=f（x²）=x⁴-2x²-3，
∴g′（x）=4x³-4x=4x（x+1）（x-1）
令g′（x）=0，得x=-1或x=0或x=2．
列表如下：

由表可得：函數g（x）的單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞）．

點評：本題考查了導數的幾何意義，即在某點處的切線的斜率是該點處的導數值，以及導數與函數單調性的關系，屬于中檔題．