Question

已知函數f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(

π

24

)=0．
（Ⅰ）求函數f（x）的周期T和單調遞增區間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，求θ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角根式化簡函數f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，為

3 a

2

sin4x-3cos4x，然后化為一個角的一個三角函數的形式，然后求函數f（x）的周期T和利用基本函數的單調區間，求出函數f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3單調遞增區間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結果f(x)=6sin(4x-

π

6

)，代入f（θ）=-3，且θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，直接求θ的值．

解答：解．（Ⅰ）f(x)=2

3

a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3
=

3 a

2

sin4x-3cos4x．又f(

π

24

)=0，得a=6．
∴f(x)=3

3

sin4x-3cos4x=6sin(4x-

π

6

)．
∴函數f（x）的周期T=

π

2

，
由2kπ-

π

2

≤4x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得函數單調遞增區間為[-

π

12

+

kπ

2

，

π

6

+

kπ

2

]，k∈Z；
（Ⅱ）依題意得sin(4θ-

π

6

)=-

1

2

，
∵θ∈(-

5π

24

，

π

24

)，∴-π＜4θ-

π

6

＜0．
∴4θ-

π

6

=-

π

6

或-

5π

6

．解得θ=0或-

π

6

．

點評：本題考查復合三角函數的單調性，三角函數的周期性及其求法，考查轉化思想，計算能力，是中檔題，高考常考題型．