Question

已知函數f(x)=

2-2cosx

+

2-2cos( 2π 3 -x)

，x∈[0，2π]，則當x=

4π

3

時，函數f（x）有最大值，最大值為

2

3

．

Answer 1

分析：先根據二倍角公式化簡原函數；再根據分段函數最大值的求法，求出每一段的最大值，最后比較即可得到答案．

解答：解：∵函數f(x)=

2-2cosx

+

2-2cos( 2π 3 -x)

=

2(1-cosx)

+

2[1-cos(x- 2π 3 )

=2|sin

x

2

|+2|sin（

x

2

-

π

3

）|
=

2sin x 2 -2sin( x 2 - π 3 )      0≤x≤ 2π 3 2sin x 2 +2sin( x 2 - π 3 )       2π 3 ＜x≤2π

＜
=

2sin( x 2 + π 3 )   0≤x≤ 2π 3 2 3 sin( x 2 - π 6 )    2π 3 ＜x≤2π

．
當

x

2

+

π

3

=

π

2

⇒x=

π

3

時，y=2sin（

x

2

+

π

3

）有最大值2；
當

x

2

-

π

6

=

π

2

⇒x=

4π

3

時，y=2

3

sin（

x

2

-

π

6

）有最大值2

3

．
∴當x=

4π

3

時，函數f（x）有最大值2

3

．
故答案為：

4π

3

，2

3

．

點評：本題主要考查三角函數的化簡求值以及分段函數的最值求法．分段函數的最值求法是先分段找，最后在綜合即可．