Question

已知函數f(x)=2-

ax+1

(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將（4，-1）代入已知條件，即可求得a的值；
（2）可判斷f（x）=2-

2x+1

在∈[-

1

2

，+∞）上減函數，f（0）•f（4）＜0，從而可判斷f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）可將f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，轉化為m＞

2x+1 -1

x

=

2

( 2x+1 +1)

恒成立即可．

解答：解：（1）∵點（4，-1）在函數f（x）的圖象上，
∴2-

4a+1

=-1，解之得a=2…2
（2）證明：由（1）得f（x）=2-

2x+1

，定義域為x∈[-

1

2

，+∞）…3
∵y=

2x+1

在∈[-

1

2

，+∞）上是增函數，
∴f（x）=2-

2x+1

在∈[-

1

2

，+∞）上減函數，…5
又f（0）=1＞0，f（4）=-1＜0，
∴f（0）•f（4）＜0，
∴f（x）在其定義域上有且只有一個零點；…7
（3）由題意得：2-

2x+1

+mx＞1即mx＞

2x+1

-1，
∵x＞0，
∴m＞

2x+1 -1

x

…9
又

2x+1 -1

x

=

2x

x( 2x+1 +1)

=

2

( 2x+1 +1)

，
∴0＜

2

( 2x+1 +1)

＜1…11
要使原不等式對一切的正實數x均成立，只需m≥1，
∴m∈[1，+∞）…12

點評：本題考查函數恒成立問題，著重考查轉化思想，難點在于（3）m＞

2x+1 -1

x

=

2

( 2x+1 +1)

的轉化與應用，屬于難題．