Question

【題目】用數學歸納法證明：當n∈N*時，1＋22＋33＋…＋nn<(n＋1)n.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

根據數學歸納法證明步驟，逐步證明即可。

(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2,1<2，不等式成立．

(2)假設當n＝k(k∈N*)時不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk<(k＋1)k；

那么，當n＝k＋1時，左邊＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1<(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)<(k＋2)k＋1＝[(k＋1)＋1]k＋1＝右邊，即左邊<右邊，

即當n＝k＋1時不等式也成立．

根據(1)和(2)可知，不等式對任意n∈N*都成立．