Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，關于數列{a_n}有下列四個命題：
①若{a_n}既是等差數列又是等比數列，則S_n=na₁；
②若S_n=2+（-1）ⁿ，則{a_n}是等比數列；
③若S_n=an²+bn（a，b∈R），則{a_n}是等差數列；
④若S_n=pⁿ，則無論p取何值時{a_n}一定不是等比數列．
其中正確命題的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：對于①，直接根據既是等差數列又是等比數列的數列特點來判斷即可；
對于②④，直接利用其前n項和，求出通項公式即可判斷；
對于③，直接利用等差數列前n項和公式即可的出結論．

解答：解：①若{a_n}既是等差數列又是等比數列，則數列為非0常數列，既a_n=a₁，則S_n=na₁成立；
②若S_n=2+（-1）ⁿ，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）^n-1-（-1）ⁿ，而a₁=2+（-1）¹=1不適合上式，所以{a_n}不是等比數列，
③因為{a_n}是等差數列時，Sn=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n符合S_n=an²+bn（a，b∈R）的形式，故③成立；
④若S_n=pⁿ，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=pⁿ-p^n-1=p^n-1（p-1），而a₁=S₁=p不適合上式，所以{a_n}不是等比數列；
故只有①③④為真命題．
故答案為：①③④．

點評：本題主要 考查等差數列和等比數列的基礎知識．若{a_n}既是等差數列又是等比數列，則數列為非0常數列，既a_n=a₁，S_n=na₁．