Question

在直角坐標系xoy中，設A是曲線C₁：y=ax³+1（a＞0）與曲線C2：x2+y2=

5

2

的一個公共點，若C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，則實數a的值是（　　）

• A、2
• B、1
• C、

  3	3

• D、4

Answer 1

分析：設出兩曲線的交點A的坐標，代入兩曲線解析式，分別記作①和②，由曲線C₁的解析式，求出導函數，把點A的橫坐標代入導函數中求出的導函數值即為曲線C₁在A處的切線的斜率，進而表示出C₁在A處的切線方程，由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，得到求出的切線方程過曲線C₂的圓心（0，0），把圓心坐標代入切線方程得到一個關系式，記作③，聯立①②③，即可求出a的值．

解答：解：設點A的坐標為（x₀，y₀），代入兩曲線方程得：
y₀=ax₀³+1①，x₀²+y₀²=

5

2

②，
由曲線C₁：y=ax³+1得：y′=3ax²，
則曲線C₁在A處的切線的斜率k=3ax₀²，
所以C₁在A處的切線方程為：y=3ax₀²（x-x₀）+y₀，
由C₁在A處的切線與C₂在A處的切線互相垂直，
得到切線方程y=3ax₀²（x-x₀）+y₀過圓C₂的圓心（0，0），
則有3ax₀²（0-x₀）+y₀=0，即y₀=3ax₀³③，
把③代入①得：a=

1

2x03

④，④代入③得：y₀=

3

2

⑤，⑤代入②得：x₀=±

1

2

，
當x₀=

1

2

時，代入④得：a=4；當x₀=-

1

2

時，代入④得：a=-4（由a＞0，不合題意，舍去）．
則實數a的值為4．
故選D

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時斜率滿足的關系，掌握圓切線垂直于過切點的直徑的性質，是一道中檔題．