Question

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足

MN

=

MF1

+

MF2

，直線l∥MN，且與C₁交于A，B兩點，若

OA

•

OB

=0，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用F₂是拋物線C₂：y²=4x的焦點求出F₂的坐標，再利用|MF₂|=

5

3

以及拋物線的定義求出點M的坐標，可以得到關于橢圓方程中參數的兩個等式聯立即可求C₁的方程；
（Ⅱ）先利用

MN

=

MF1

+

MF2

，以及直線l∥MN得出直線l與OM的斜率相同，設出直線l的方程，把直線方程與橢圓方程聯立得到關于A，B兩點坐標的等式，整理代入

OA

•

OB

=0，即可求出直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由C₂：y²=4x知F₂（1，0）．
設M（x₁，y₁），M在C₂上，因為|MF2|=

5

3

，
所以x1+1=

5

3

，得x1=

2

3

，y1=

2 6

3

．M在C₁上，且橢圓C₁的半焦距c=1，
于是

4 9a2 + 8 3b2 =1 b2=a2-1.

消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=

1

3

不合題意，舍去）．
故橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

MF1

+

MF2

=

MN

知四邊形MF₁NF₂是平行四邊形，其中心為坐標原點O，
因為l∥MN，所以l與OM的斜率相同，
故l的斜率k=

2 6 3

2 3

=

6

．設l的方程為y=

6

(x-m)．
由

3x2+4y2=12 y= 6 (x-m)

消去y并化簡得9x²-16mx+8m²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

16m

9

，x1x2=

8m2-4

9

．
因為

OA

⊥

OB

，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）
=7x₁x₂-6m（x₁+x₂）+6m²
=7•

8m2-4

9

-6m•

16m

9

+6m2=

1

9

(14m2-28)=0．
所以m=±

2

．此時△=（16m）²-4×9（8m²-4）＞0，
故所求直線l的方程為y=

6

x-2

3

，或y=

6

x+2

3

．

點評：本題是對橢圓與拋物線以及直線與橢圓位置關系的綜合考查．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．