Question

已知橢圓：的右焦點在圓上，直線交橢圓于、兩點.
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 若OM⊥ON(為坐標原點)，求的值；
(Ⅲ) 設點關于軸的對稱點為（與不重合），且直線與軸交于點，試問的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）
(3) 的面積存在最大值

解析試題分析：解(Ⅰ) 由題設知，圓的圓心坐標是，半徑為，
故圓與軸交與兩點，.……………1分
所以，在橢圓中或，又，
所以，或 (舍去，∵),    3分
于是，橢圓的方程為.   4分
(Ⅱ) 設，；
直線與橢圓方程聯立,  
化簡并整理得.   5分
∴，,∴，
.……7分
∵，∴,即得 
∴，，即為定值.  9分
(Ⅲ) ∵，
∴直線的方程為.…………10分
令，則 
, 
∴ 11分
∴ 
當且僅當即時等號成立.
故的面積存在最大值.……………13分
(或: , 令，
則.  12分
當且僅當時等號成立，此時.
故的面積存在最大值.   13分 
考點：直線與橢圓的位置關系
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。