Question

已知函數f（x）=ax+lnx，a∈R．
（1）討論y=f（x）的單調性；（2）若定義在區間D上的函數y=g（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有不等式成立，則稱函數y=g（x）為區間D上的“凹函數”．
試證明：當a=-1時，為“凹函數”．

Answer 1

解：（1）當a=0時，函數f（x）=lnx在（0，+∞）上是增函數； …（1分）
由已知，x∈（0，+∞），，…（3分）
當a＞0時，f'（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數； …（4分）
當a＜0時，解得，解f'（x）＜0得，
所以函數f（x）在上是增函數，在上是減函數．…（5分）
綜上，當a≥0時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數；
當a＜0時，函數f（x）在上是增函數，在上是減函數．
（2）當a=-1時，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值為f（1）=-1，即f（x）＜0恒成立．
所以，x∈（0，+∞）．…（6分）
設x₁，x₂∈（0，+∞），
計算，，
因為，所以，，…（8分），所以，…（10分）
所以，即當a=-1時，為“凹函數”．
分析：（1）利用導數求函數的單調性，應注意函數的定義域，同時進行合理分類；（2）新定義關鍵是理解“凹函數”的定義，然后驗證所求函數滿足新定義．
點評：本題是一道創新型題，屬于難度系數較大的題目．近幾年的高考命題，由知識立意向能力立意轉化，強化創新意識的考查，設計了一些“對新穎的信息、情景和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學數學知識、思想和方法，進行獨立思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性的解決問題”的創新題．