Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項，數列{b_n}中，b₁=1，點P（b_n，b_n+1）在直線上。
（1）求a₁和a₂的值；    
（2）求數列{a_n}，{b_n}的通項a_n和b_n；
（3）設c_n=a_n·b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

解：（1）∵a_n是S_n與2的等差中項 ∴S_n=2a_n-2        ∴a₁=S₁=2a₁-2，
解得a₁="2"         a₁+a₂=S₂=2a₂-2，解得a₂="4"
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，又S_n—S_n-1=a_n， ∴a_n=2a_n-2a_n-1， 
又a_n≠0， ∴，即數列{a_n}是等比數列  
∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ    ∵點P(b_n，b_n+1)在直線x-y+2=0上，∴b_n-b_n+1+2=0，
∴b_n+1-b_n=2，即數列{b_n}是等差數列，又b₁=1，∴b_n=2n-1，  
（3）∵c_n=(2n-1)2ⁿ      ∴T_n=a₁b₁+ a₂b₂+····a_nb_n=1×2+3×2²+5×2³+····+(2n-1)2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+3×2³+····+(2n-3)2ⁿ+(2n-1)2ⁿ⁺¹
則   -T_n=1×2+(2×2²+2×2³+···+2×2ⁿ)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
即：-T_n=1×2+(2³+2⁴+····+2ⁿ⁺¹)-(2n-1)2ⁿ⁺¹，
∴T_n=(2n-3)2ⁿ⁺¹+6  

略