Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，令，求出不等式解集，可得單調(diào)遞增區(qū)間，令，求出不等式解集，可得單調(diào)遞減區(qū)間，即可得解；

（2）函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立或恒成立，分和兩種情況討論，時(shí)，通過放縮法說明在區(qū)間上恒成立，時(shí)，取特殊值，利用零點(diǎn)存在性定理說明在區(qū)間上有零點(diǎn)，由此即可得的最小值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，

則，

令，得，令，得

的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，

在區(qū)間上，恒成立或恒成立，

，

，

①當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上，，

記，

則，

在區(qū)間上，，

在區(qū)間上，單調(diào)遞減，

，即，

，

即在區(qū)間上恒成立，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，，，

，

，，

，

在上有零點(diǎn)，即函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，不符合題意.

綜上所述，，此時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，

的最小值為.