Question

必做題：（本小題滿分10分，請在答題指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
已知a_n（n∈N^*）是二項式（2+x）ⁿ的展開式中x的一次項的系數．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）是否存在等差數列{b_n}，使a_n=b₁c_n¹+b₂c_n²+b₃c_n³+…+b_nc_nⁿ對一切正整數n都成立？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）結合（（2+x）ⁿ的展開式的通項T_r+1=C_n^r2^n-rx^r，令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差數列{b_n}，滿足已知條件則把n=1，n=2，n=3分別代入可求b₁，b₂，b₃，結合所求可猜想b_n=n
再證明：a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ對一切正整數n都成立
（法一）設S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ，則S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹，利用倒序相加結合組合數的性質可證
（法二）利用組合數的性質kC_n^k=nC_n-1^k-1，對原式化簡可證

解答：解：（I）∵（（2+x）ⁿ的展開式的通項為：T_r+1=C_n^r2^n-rx^r（r=0，1，2…n）
令r=1可得a_n=C_n^r2^n-r=n•2^n-1
（II）若存在等差數列{b_n}，滿足已知條件
則當n=1時，b₁=a₁=1
當n=2時，a₂=b₁C₂¹+b₂C₂²即4=4=2+b₂，所以b₂=2
當n=3時，a₃=b₁C₃¹+b₂C₃²+b₃C₃³即12=3+6+b₃，所以b₃=3
由上述結果，猜想b_n=n
下面證明：當b_n=n時，a_n=b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ對一切正整數n都成立
即證n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法一）設S=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ
S=nC_nⁿ+（n-1）C_n^n-1+…+C_n¹
則2S=nC_n⁰+nC_n¹+…+nC_nⁿ=n（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）=n•2ⁿ
∴S=n•2^n-1
即n•2^n-1=C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ成立
（法二）∵kC_n^k=k

n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

=n

(n-1)!

(k-1)![(n-1)-(k-1)]!

=nC_n-1^k-1
∴C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1）=n•2^n-1
綜上可得，存在等差數列b_n=n滿足已知條件．

點評：本題主要考查了利用二項展開式的通項求解指定項的系數，考查了組合數的兩個性質：①C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ=2ⁿ②kC_n^k=nC_n-1^k-1的綜合應用及倒序求和、數學歸納法證明數學命題等知識的綜合應用．