Question

已知函數f（x）=sin²ωx+

3

cosωxcos（

π

2

-ωx）（ω＞0），且函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距為

π

2

．
（1）求f（

π

6

）的值．
（2）若函數 f（kx+

π

12

）（k＞0）在區間[-

π

6

，

π

3

]上單調遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據二倍角公式和兩角和與差的正弦公式進行化簡，再由相鄰兩條對稱軸之間的距為

π

2

求出最小正周期，進而可確定ω的值，從而可確定函數f（x）的解析式，最后將x=

π

6

即可求出答案．
（2）先將x=kx+

π

12

代入到函數f（x）中，然后為使得在區間[-

π

6

，

π

3

]上單調遞增必須要

T

4

≥

π

3

，進而可確定k的范圍．

解答：解：f（x）=sin²ωx+

3

cosωx×cos（

π

2

-ωx）
=

1-cosωx

2

+

3

cosωx×sinωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

因為函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距為

π

2

，
即是兩個最值點距離，即是

T

2

=

π

2

，所以T=π=

2π

2ω

，故ω=1
所以f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

（1）f（

π

6

）=sin

π

6

=

1

2

（2）因為f（kx+

π

12

）=sin2kx，要在區間[-

π

6

，

π

3

]上單調遞增，
則必須

T

4

≥

π

3

，T=

2π

2K

，所以，可求得k≤

3

4

，又已知k＞0，則解得0＜k≤

3

4

點評：本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的正弦公式的應用和正弦函數的性質--單調性、最值．考查考生對基礎知識的簡單綜合和靈活運用．