Question

已知函數f（x）=cos（ 2x+

π

3

）+sin²x．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足2

AC

•

CB

=

2

ab，c=2

2

，f（A）=

1

2

-

3

4

，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函數的恒等變化簡函數f（x）的解析式為

1

2

-

3

2

sin2x，由此可得它的最小正周期和值域．
（Ⅱ）由2

AC

•

CB

=

2

ab，求得sin2A=

1

2

，故A=

π

12

，B=

π

6

，再利用正弦定理求得a、b的值，根據 S=

1

2

ab•sinC，運算求得結果．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）=cos（ 2x+

π

3

）+sin²x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
所以，最小正周期T=

2π

2

=π，值域為[

1- 3

2

，

1+ 3

2

]．…（6分）
（Ⅱ）∵2

AC

•

CB

=

2

ab，∴2ab•cos（π-C）=

2

ab，cosC=-

2

2

．
∴C=

3π

4

．
又f（A）=

1

2

-

3

4

，∴

1

2

-

3

2

sin2A=

1

2

-

3

4

，sin2A=

1

2

，∴A=

π

12

，∴B=

π

6

．

由正弦定理，有

q

sin π 12

=

b

sin π 6

=

c

sin 3π 4

，即

a

6 - 2 4

=

b

1 2

=

2 2

2 2

，解得 a=

6

-

2

，b=2．
∴S=

1

2

ab•sinC=

3

-1．…（12分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，三角函數的周期性和求法，正弦定理及兩個向量的數量積的定義，
屬于中檔題．