Question

頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線C過點P（4，4）．過該拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B亮點，點M和N分別為A、B兩點在拋物線準線l上的射影．準線l與x軸的交點為E．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）某學習小組在計算機動態數學軟件的幫助下，得到了關于拋物線C性質的如下猜想：“直線AN和BM恒相交于原點O”，試證明該結論是正確的；
（3）該小組孩項研究拋物線C中∠AEB的大小范圍，試通過計算的結果來給出一個你認為正確的與∠AEB有關的推論，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可可設拋物線的方程y²=2px（p＞0）由拋物線C過點P（4，4）可求p，進而可求拋物線方程
（2）可證當 x₁≠x₂時，k_OA=k_ON，說明A、O、N三點共線；當 x₁=x₂時，不難得到ABNM為矩形，且有對稱性可知點O為對角線AN、BM的交點，所以此時A、O、N三點共線．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB過焦點F且F（1，0），當 x₁≠x₂時，AB所在的直線的方程y=k（x-1），k≠0，代入拋物線方程，結合方程的根與系數關系可求，當 x₁=x₂時，AB所在的直線垂直于x軸，不難求得AF=EF=EB=2，故此時∠AEB=90°
解答：解：（1）由題意可可設拋物線的方程y²=2px（p＞0）
∵拋物線C過點P（4，4）∴p=2
∴y²=4x
（2）當 x₁≠x₂時，k_OA=k_ON，所以此時A、O、N三點共線；當 x₁=x₂時，不難得到ABNM為矩形，且有對稱性可知點O為對角線AN、BM的交點，所以此時A、O、N三點共線．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因為AB過焦點F且F（1，0），
當 x₁≠x₂時，AB所在的直線的方程y=k（x-1），k≠0，代入拋物線方程可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以
當 x₁=x₂時，AB所在的直線垂直于x軸，不難求得AF=EF=EB=2，故此時∠AEB=90°
綜上，可提出推論“∠AEB只能是銳角或直角”
點評：本題主要考查了由拋物線的性質求解拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系的應用，方程的根與系數關系的應用，屬于綜合性試題．