Question

頂點在原點、焦點在x軸上的拋物線被直線y=x+1截得的弦長是

10

，則拋物線的方程是（　　）

• A、y²=-x或y²=5x
• B、y²=-x
• C、y²=x或y2=-5x
• D、y²=5x

Answer 1

分析：設拋物線方程為y²=2px，直線y=x+1與拋物線交于點A（x₁，y₁）和點B（x₂，y₂），把y=x+1代入y²=2px，得x²+（2-2p）x+1=0，由韋達定理得x₁+x₂=2p-2，x₁x₂=1，由弦長公式得|AB|=

(1+1)[(2p-2)2-4]

=

10

，由此求出p的值，從而得到拋物線的方程．

解答：解：設拋物線方程為y²=2px，直線y=x+1與拋物線交于點A（x₁，y₁）和點B（x₂，y₂），
則根據題意，|AB|=

10

，
把y=x+1代入y²=2px，得（x+1）²=2px，
整理得x²+（2-2p）x+1=0，
由韋達定理得x₁+x₂=2p-2，x₁x₂=1，
由弦長公式得|AB|=

(1+1)[(2p-2)2-4]

=

10

，
解得p=

5

2

或者p=-

1

2

，
所以拋物線方程為y²=-x或y²=5x．
故選A．

點評：本題考查拋線的標準方程，解題時要認真審題，注意弦長公式的靈活運用．