Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸，拋物線上有兩個動點A、B和一個定點M（2，y₀），F是拋物線的焦點，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數列，線段AB的中點到拋物線準線的距離是4，求拋物線方程．

Answer 1

分析：由題意可知拋物線的開口向右故可設拋物線的方程為y²=2px（p＞0），由拋物線的定義可知，AF=xA+

p

2

，BF=xB+

p

2

，MF=2+

p

2

，結合AF，MF，BF成等差數列可得AF+BF=2MF，可求AB的橫坐標的關系，由中點到拋物線準線的距離是4可求p，進而可求拋物線的方程

解答：解：由拋物線的頂點在原點，焦點在x軸，拋物線上有一個定點M（2，y₀）可知拋物線的開口向右
故可設拋物線的方程為：y²=2px（p＞0），拋物線的準線x=-

p

2

由拋物線的定義可知，AF=xA+

p

2

，BF=xB+

p

2

，MF=2+

p

2

∵AF，MF，BF成等差數列可得AF+BF=2MF即xA+xB+p=2(2+

p

2

)
∴x_A+x_B=4
由AB的中點到拋物線準線的距離是4可得，

xA+xB

2

+

p

2

=4
∴p=4，拋物線的方程為：y²=8x

點評：本題主要考查了利用拋物線的定義及等差數列的性質求解拋物線的定義，解題的關鍵是根據已知拋物線上的一點判斷出拋物線的開口方向．