Question

18．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求證OD∥平面PAB；

(Ⅱ)當k＝時，求直線PA與平面PBC所成角的大小；

(Ⅲ) 當k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為△PBC的重心？

Answer 1

18.解：方法一：

（Ⅰ）∵O、D分別為AC、PC的中點，

      ∴OD∥PA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

又PA平面PAB，   

∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵AB⊥BC，OA=OC

      ∴OA=OB=OC

又∴OP⊥平面ABC，

∴PA=PB=PC。

取BC中點E，連結(jié)PE，則BC⊥平面POE。

作OF⊥PE于F，連結(jié)DF，則OF⊥平面PBC。∠ODF是OD與平面PBC所成的角。

又OD∥PA，

∴PA與平面PBC所成角的大小等于∠ODF。

在Rt△ODF中，

sin∠ODF=.

∴PA與平面PBC所成的角為arcsin。     

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF⊥平面PBC，

     ∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影。

     ∵D是PC的中點

     若點F是△PBC的重心。

     則B、F、D三點共線，

     ∴直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD。

     ∵OB⊥PC，

∴PC⊥BD，

∴PB=BC，即k=1

反之，當k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心

方法二：

∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP。

以O(shè)為原點，射線OP為非負z軸，建立空間直角坐標系O-xyz（如圖），

設(shè)AB=a，則A（a,0,0），B（0，a，0），C（－a，0，0）。

設(shè)OP=h，則P（0，0，h）。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（Ⅰ）∵D為PC的中點，

∴＝（－，0，）

      又，

      ∴

      ∴∥。

      ∴OD∥平面PAB

（Ⅱ）∵k=，即PA=2a

      ∴h=,

      ∴=(),

      可求得平面PBC的法向量=（1，－1，－），

      ∴cos<,>==

      設(shè)PA與平面PBC所成的角為θ

      則sinθ=|cos<,>|=,

      ∴PA與平面PBC所成的角為arcsin

（Ⅲ）△PBC的重心G（－a，a，h），

    ∴=（－a，a，h）

     ∵OG⊥平面PBC，

     ∴⊥

   又=（0，a，－h(huán)）

   ∴·=a²－h²=0

   ∴h=a.

   ∴PA==a，即k=1.

反之，當k=1時，三棱錐O-PBC為正三棱錐,

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為△PBC的重心。