Question

已知直線l₁經過點A（-3，0），B（3，2），直線l₂經過點B，且l₁⊥l₂．
（1）求經過點B且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方程；
（2）設直線l₂與直線y=8x的交點為C，求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據直線經過原點或不經過原點，分兩種情況加以討論，利用直線在坐標軸上截距的概念和直線方程的截距式，即可算出滿足條件的直線方程；
（2）由A、B的坐標算出直線l₁的斜率k₁=

1

3

，從而得到l₂的斜率k₂=

-1

k1

=-3，利用點斜式列式可得直線l₂的方程為y=-3x+11．聯解直線l₂與直線y=8x，算出交點為C（1，8），設△ABC外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入A、B、C的坐標解出D、E、F的值，即可得到所求△ABC外接圓的方程．

解答：解：（1）設經過點B且在兩坐標軸上的截距相等的直線為m，
①當直線m經過原點時，在兩坐標軸上的截距都為零，符合題意．
此時，直線m的方程為y=

2

3

x；
②當直線m不經過原點時，設方程為

x

a

+

y

a

=1，
將點B（3，2）代入，得

3

a

+

2

a

=1，解之得a=5，
此時直線m的方程為

x

5

+

y

5

=1，化簡得x+y-5=0．
綜上所述，直線m方程為y=

2

3

x或x+y-5=0，即為所求直線的方程．
（2）∵直線l₁經過點A（-3，0），B（3，2），
∴直線l₁的斜率k₁=

2-0

3-(-3)

=

1

3

，
∵l₁⊥l₂，∴直線l₂的斜率k₂=

-1

k1

=-3．
又∵直線l₂經過點B（3，2），
∴直線l₂的方程為y-2=-3（x-3），即y=-3x+11，
由

y=8x y=-3x+11

聯解，得

x=1 y=8

，可得直線l₂與直線y=8x的交點為C（1，8）．
設經過A、B、C三點的圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
可得

9-3D+F=0 9+4+3D+2E+F=0 1+64+D+8E+F=0

，解之得

D=2 E=-8 F=-3

，
∴經過A、B、C三點的圓方程為x²+y²+2x-8y-3=0，即為△ABC外接圓的方程．

點評：本題著重查了直線的基本量與基本形式、直線的位置關系、圓標準的方程與一般方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．