Question

15、給出命題：
（1）在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行；
（2）設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；
（3）已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件；
（4）若點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P在該三角形所在平面內的射影是該三角形的外心；
（5）a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行．
其中正確的命題是

（2）（4）

（只填序號）．

Answer 1

分析：（1）在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行，可由面面的位置關系證明；
（2）設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α，可由線面垂直的條件證明；
（3）已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件，可由面面垂直的性質定理進行判斷；
（4）若點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P在該三角形所在平面內的射影是該三角形的外心，可由投影的概念結合外心的定義進行判斷；
（5）a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行，可由線面位置關系判斷．

解答：解：（1）在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行，不正確，兩者可能相交；
（2）設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α，此是一個正確命題，兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一個也垂直于這個平面；
（3）已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件，不正確，因為兩面垂直，一個面中的線與另一個面的關系是平行、相交，在另一個面內都有可能；
（4）若點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P在該三角形所在平面內的射影是該三角形的外心，此命題正確，由三側棱在底面上的投影相等，符合外心的定義；
（5）a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行，不一定正確，這樣的平面當垂直于一線的平面恰好過另一線時，則不成立．
故答案為：（2）（4）

點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關系的判斷，重點考查了對空間中線面位置的立體感知能力，屬于基本題型．