Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題p：?x∈R，sin≤1，則￢p：?x∈R，sinx＜1，
②當(dāng)a≥1時(shí)，不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集為非空；
③當(dāng)x＞1時(shí)，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2
④設(shè)有五個(gè)函數(shù).y=x，y=x

1

2

，y=x3，y=x2，y=2x，其中既是偶函數(shù)又在（0，+∞） 上是增函數(shù)的有2個(gè)．
其中真命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，是條件不變，否定結(jié)論，來判斷①是否正確；
舉例判斷②是否正確；
利用基本不等式求最值，來驗(yàn)證③是否正確；
根據(jù)冪函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷④是否正確．

解答：解：對①，￢P：：?x∈R，sinx＞1，故①為假命題；
對②，當(dāng)a=1時(shí)，∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|=1，∴不等式|x-4|+|x-3|＜1的解集為空集，故②為假命題；
對③，∵x＞1，∴l(xiāng)nx＞0，∴l(xiāng)nx+

1

lnx

≥2，當(dāng) lnx=1即x=10時(shí)取等號，故③是真命題；
對④，y=x；y=x

1

2

；y=x³；y=2^x都不是偶函數(shù)，只有y=x²既是偶函數(shù)又在（0，+∞） 上是增函數(shù)，故④是假命題．
故答案是③．

點(diǎn)評：本題借助考查命題的真假判斷，考查了全稱命題的否定、絕對值不等式、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．利用基本不等式求最值時(shí)，要注意：一“正”；二“定”；三“相等”．