Question

已知向量

a

=(Sinx，2)，

b

=(2Sinx，

1

2

)，

c

=(Cos2x，1)，

d

=(1，2)，又二次函數f（x）的圖象開口向上，其對稱軸為x=1．
（1）分別求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍
（2）當x∈[0，π]時，求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式求出

a

•

b

，

c

•

d

，再利用三角函數的有界性求出數量積的范圍．
（2）利用二次函數的單調性去掉抽象函數的對應法則，再利用二倍角的余弦公式及三角函數的圖象求出x的范圍

解答：解：（1）

a

•

b

=2sin2x+1，

c

•

d

=cos2x+2
又0≤Sin²x≤1，-1≤Cos2x≤1，
∴

a

•

b

∈[1，3]，

c

•

d

∈[1，3]．
（2）∵x∈[0，π]，
∴0≤Sin²x≤1，-1≤Cos2x≤1，
∴f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+2）
又依題意f（x）在[1，+∞）上是增函數．
由（1）知，2Sin²x+1＞Cos2x+2，即4Sin²x＞2，
∴|Sinx|＞

2

2

，又x∈[0，π]，
∴Sinx＞

2

2

，
∴x∈(

π

4

，

3π

4

)．

點評：本題考查向量的數量積公式、三角函數的有界性、二次函數的單調性、及二倍角的余弦公式．