Question

已知向量

a

=(sinθ，

3

)，

b

=(1，cosθ)，θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）若

a

⊥

b

，求θ；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用三角函數的商數關系求出正切，求出角．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函數的平方關系及公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+β)，化簡|

a

+

b

|2，利用三角函數的有界性求出范圍．

解答：解：（1）因為

a

⊥

b

，所以sinθ+

3

cosθ=0
得tanθ=-

3

又θ∈(-

π

2

，

π

2

)，
所以θ=-

π

3

（2）因為|

a

+

b

|2=(sinθ+1)2+(cosθ+

3

)2
=5+4sin(θ+

π

3

)
所以當θ=

π

6

時，|

a

+

b

|2的最大值為5+4=9
故|

a

+

b

|的最大值為3

點評：本題考查向量垂直的充要條件|數量積等于0；向量模的平方等于向量的平方；三角函數的同角三角函數的公式；asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+β)