Question

在公差為d（d≠0）的等差數列{a_n}和公比為q的等比數列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₈=b₃．
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在常數a，b，使得對于一切正整數n，都有a_n=log_ab_n+b成立？若存在，求出常數a和b，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件得：

1+d=q 1+7d=q2

，由此能求出求結果．
（Ⅱ）假設存在a，b使a_n=log_ab_n+b成立，則5n-4=log_a6^n-1+b⇒5n-4=（n-1）log_a6+b⇒（5-log_a6）n+（log_a6-b-4）=0對一切正整數恒成立．由此能求出存在常數a=

5	6

，b=1使得對于n∈N^*時，都有a_n=log_ab_n+b恒成立．

解答：解：（Ⅰ）由條件得：

1+d=q 1+7d=q2

∴

d=5 q=6

，
∴a_n=5n-4，
b_n=6^n-1．
（Ⅱ）假設存在a，b使a_n=log_ab_n+b成立，
則5n-4=log_a6^n-1+b，
∴5n-4=（n-1）log_a6+b，
∴（5-log_a6）n+（log_a6-b-4）=0對一切正整數恒成立．
∴

loga6=5 loga6=b+4

，
既

a= 5 6 b=1

．
故存在常數a=

5	6

，b=1，
使得對于n∈N^*時，都有a_n=log_ab_n+b恒成立．…（12分）

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．