Question

【題目】如圖1，在直角梯形中，，，，點是邊的中點，將沿折起，使平面平面，連接，，，得到如圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面；

（2）若，且與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）證明平面內的相交直線，即可證明線面垂直；

（2）根據與平面所成角的正切值為，設，求出的值，如圖所示，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夾角公式，即可得答案.

（1）因為平面平面，平面平面，

又，所以平面.

因為平面，所以.

又因為折疊前后均有，，

所以平面.

（2）由（1）知平面，所以與平面所成角為

且.依題意.

因為，所以.

設，則.

依題意，所以，即.

解得，故，，.

如圖所示，建立空間直角坐標系，

則，，，，，

所以，.

由（1）知平面的法向量

設平面的法向量

由得，

令，得，，所以.

所以.

由圖可知二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.