Question

【題目】已知動圓過點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若，是曲線上的兩個點且直線過的外心，其中為坐標原點，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

（1）根據題意，設點，由半徑相等建立關系式，化簡即可求得解析式；

（2）可判斷直線斜率一定存在，設直線的方程為，聯立直線與拋物線方程求得關于的韋達定理，再由直線過的外心，可得，即，結合前式的韋達定理表示的關系式解方程可求參數，即可求定點

（1）設點，則，

平方整理得：，

∴曲線的方程為.

（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，否則不與曲線有兩個交點.

設的方程為，設點，，聯立方程

得，

則得，，

由得：，.

.

.

∵直線過的外心，其中為坐標原點，∴.

∴，

∴，，

解得，當時，滿足.

∴直線過定點.