Question

【題目】若點為點在平面上的正投影，則記.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是線段上一動點，.給出下列四個結論：

①為的重心；

②；

③當時，平面；

④當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為.

其中，所有正確結論的序號是________________.

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①點在平面內的正投影為點，而正方體的體對角線與和它不相交的的面對角線垂直，所以直線垂直于平面，而為正三角形，可得為正三角形的重心，所以①是正確的；

②取的中點，連接，則點在平面的正投影在上，記為，而平面平面，所以，所以②正確；

③若設，則由可得，然后對應邊成比例，可解，所以③正確；

④由于，而的面積是定值，所以當點到平面的距離最大時，三棱錐的體積最大，而當點與點重合時，點到平面的距離最大，此時為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.

因為，連接，則有平面平面為正三角形，所以為正三角形的中心，也是的重心，所以①正確；

由平面，可知平面平面，記，

由，可得平面平面，則，所以②正確；

若平面，則，設由得，易得，由，則，由得，，解得，所以③正確；

當與重合時，最大，為棱長為的正四面體，其外接球半徑，則球，所以④錯誤.

故答案為：①②③