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選修4－4不等式選講）

已知f(x)＝定義在區間[－1，1]上,設x₁，x₂∈[－1，1]且x₁≠x₂．

(1)求證: | f(x₁)－f(x₂)|≤| x₁－x₂|

(2)若a²＋b²＝1，求證：f(a)＋f(b) ≤．

（1）略（2）略

解析:

證（1）　

∵，，

∴| f(x₁)－f(x₂)|＜| x₁－x₂| ………5分

（2），∴f(a)＋f(b) ≤

∵ ，

∴ ……10分

點評：本題考查絕對值不等式、柯西不等式，屬于容易題

練習冊系列答案

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=（

2	a
2	b

）的兩^E值分別為λ₁=-1和λ₂=4．
（I）求實數的值；
（II ）求直線x-2y-3=0在矩陣M所對應的線性變換作用下的像的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C的參數方程為

x=sinα

y=2cos2α-2

，
（a為餓），曲線D的鍵標方程為ρsin（θ-

）=-

．
（I ）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（II）判斷曲線c與曲線D的交點個數，并說明理由．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b為正實數．
（I）求證：

≥a+b；
（II）利用（I）的結論求函數y=

(1-x)2

1-x

（0＜x＜1）的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

A（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．
求證：DE²=DB•DA．
B（選修4-2：矩陣與變換）
求矩陣

2	1
1	2

的特征值及對應的特征向量．
C（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，直線l的參數方程是

x=-

t+2

（t為參數）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．
D（選修4-5：不等式選講）
已知m＞0，a，b∈R，求證：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選做題（在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，并將選作標記用2B鉛筆涂黑，每小題10分，共20分，請在答題指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）．
A、（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，求證：AB²=AE•AD
B、（選修4-2：矩形與變換）
已知a，b實數，如果矩陣M=

1	a
b	2

所對應的變換將直線3x-y=1變換成x+2y=1，求a，b的值．
C、（選修4-4，：坐標系與參數方程）
設M、N分別是曲線ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+

）=

上的動點，判斷兩曲線的位置關系并求M、N間的最小距離．
D、（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c是不完全相等的正數，求證：a+b+c＞

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（A）選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的割線PAB交⊙O于A，B兩點，割線PCD經過圓心交⊙O于C，D兩點，若PA=2，AB=4，PO=5，則⊙O的半徑長為

．

（B）選修4-4：坐標系與參數方程
參數方程

(et+e-t)

(et-e-t)

中當t為參數時，化為普通方程為

x²-y²=1

．
（C）選修4-5：不等式選講
不等式|x-2|-|x+1|≤a對于任意x∈R恒成立，則實數a的集合為

{a|a≥3}

．

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