Question

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

1 -1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

π

2

)，直線l過點A且傾斜角為

π

4

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

Answer 1

分析：A 利用條件△OBC為正三角形，得∠DCA=∠CBO=60°；再結合條件得∠EAB=60°；最后在RT△BAE中，求出結論即可．
B 先設出矩陣A，根據條件列出關于變量得四個等式，解出變量即可求出矩陣A；進而求出矩陣A的逆矩陣A^-1．
C：直接根據直線L過點（-2，6），傾斜角為

π

4

即可求出直線l的參數方程，同理得到圓C的極坐標方程．
D；直接根據（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，進而得到

a2+b2

c2+d2

≥ac+bd＞0，①．同理得到：

a2+b2

c2+d2

≥ad+bc＞0  ②；相乘即可得結論．

解答：解：A、證明：連接OC，BE，AC，則BE⊥AE，
∵BC=4，
∴OB=OC=BC=4，即△OBC為正三角形．
∴∠CBO=∠COB=60°．
又直線L切圓O與C，
∴∠DCA=∠CBO=60°；
∵AD⊥L，∴∠DAC=90°-60°=30°．
而∠OAC=∠ACO=

1

2

∠COB=30°．
∴∠EAB=60°．
在RT△BAE中，∠EBA=30°，∴AE=

1

2

AB=4．
B；解：設二階矩陣A=

.

a b c d

.

，
則有

.

a b c d

.

.

1 1

.

=3

.

1 1

.

，且

.

a b c d

.

.

1 -1

.

=-

.

1 -1

.

，
即

a+b=3 a-b=-1

，且

c+d=3 c-d=1

，
解得a=1，b=2，c=2，d=1．
∴A=

.

1 2 2 ′1

.

，從而A^-1=

.

- 1 3 2 3 2 3 - 1 3

.

．
C．直線L過點（-2，6），傾斜角為

π

4

．
所以直線得參數方程為

x=-2+ 2 2 t y=6+ 2 t 2

（t為參數）．
又圓心B得直角坐標為（0，4），半徑為4，
所以圓C得直角坐標方程為：x²+（y-4）²=16．
將x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ代入化簡得圓C得極坐標為ρ=8•sinθ．
D；∵（a²+b²）（c²+d²）-（ac+bd）²=（ad-bc）²≥0，
∴（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，又a，b，c，d都是正數．
∴

a2+b2

c2+d2

≥ac+bd＞0，①．
同理：

a2+b2

c2+d2

≥ad+bc＞0  ②．
①×②得：（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）（ad+bc）＞0．
∴

(a2+b2)(c2+d2)

≥

(ac+bd)(ad+bc)

，
∴xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，簡單的矩陣運算和利用基本不等式證明不等式，屬于基礎題．