Question

（選做題）在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交⊙O于N，過
N點的切線交CA的延長線于P．
（1）求證：PM²=PA•PC；
（2）若⊙O的半徑為2

3

，OA=

3

OM，求MN的長．
B．選修4-2：矩陣與變換
曲線x²+4xy+2y²=1在二階矩陣M=

.

1 a b 1

.

的作用下變換為曲線x²-2y²=1，求實數a，b的值；
C．選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=1+ 4 5 t  y=-1- 3 5 t

（t為參數），求直線l被圓C所截得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
設a，b，c均為正實數．
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求證：

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

分析：A：（1）做出輔助線連接ON，根據切線得到直角，根據垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根據同角的余角相等，得到角的相等關系，得到結論．
（2）本題是一個求線段長度的問題，在解題時，應用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所給的條件，得到要求線段的長．
B：設P（x，y）為曲線x²-2y²=1上任意一點，P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對應的點，所以

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，由此能夠求出a和b的值．
C：先兩邊同乘以ρ，利用公式即可得到圓的圓心和半徑，再將參數方程化為普通方程，結合直角坐標系下的點到直線的距離公式求解即得．
D：（1）根據（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，可得 a²+b²+c² 的最小值為

1

3

．
（2）由a，b，c均為正實數，可得

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，同理

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

b+c

，

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

c+a

，相加可得不等式成立．

解答：解：A：（1）證明：連接ON，因為PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONB+∠BNP=90°
∵OB=ON，
∴∠OBN=∠ONB
因為OB⊥AC于O，
∴∠OBN+∠BMO=90°，
故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN
∴PM²=PN²=PA•PC
（2）∵OM=2，BO=2

3

，BM=4
∵BM•MN=CM•MA=（2

3

+2）（2

3

-2）（2

3

-2）=8，
∴MN=2．
B：（1）設P（x，y）為曲線x²-2y²=1上任意一點，
P′（x′，y′）為曲線x²+4xy+2y²=1上與P對應的點，
則

1 a b 1

x′ y′

=

x y

，
即

x=x′+ay′ y=bx′+y′

，
代入（x′+ay′）²-2（bx′+y′）²=1，
得（1-2b²）x^'2+（2a-4b）x′y′+（a²-2）y^'2=1，
∵方程x²+4xy+2y²=1，
∴

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，
解得a=2，b=0．
C：⊙C的方程化為ρ=cosθ-sinθ，兩邊同乘以ρ，得ρ²=ρcosθ-ρsinθ
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x²+y²-x+y=0…（5分）
其圓心C坐標為（

1

2

，-

1

2

），半徑r=

2

2

，
又直線l的普通方程為3x+4y+1=0，
∴圓心C到直線l的距離d=

| 3 2 -2+1|

9+16

=

1

10

，
∴弦長AB=2

1 2 - 1 100

=

7

5

…（10分）
D：（1）因為a，b，c 均為正實數，由柯西不等式得，
（a²+b²+c²）（1²+1²+1²）≥（a+b+c）²=1，當且僅當a=b=c=

1

3

時等號成立，
∴a²+b²+c² 的最小值為

1

3

． …5分
證明：（2）∵a，b，c均為正實數，
∴可得

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，
同理

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

b+c

，

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

c+a

，
三個不等式相加得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，當且僅當a=b=c時等號成立．…10分

點評：考查切割線定理、用綜合法證明不等式、圓的極坐標方程、參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式等．要求學生能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．屬于中等題．